Ableitung und Ableitungsregeln

Die durchschnittliche Steigung einer Funktion zwischen den \(x\) -Werten \(x_{1}\) und \(x_{2}\) ist \(\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\) . Das entspricht der Steigung der Geraden durch die Punkte \(\big(x_{1}\,;f(x_{1})\big)\) und \(\big(x_{2}\,;f(x_{2})\big)\) . Die Punkte \((x_{1}\,;\,y_{1})=\big(x\,;\,f(x)\big)\) und \((x_{2}\,;\,y_{2})=\big(x+h;f(x+h)\big)\) haben in \(x\) -Richtung den Abstand \(h\neq 0\) , und die durchschnittliche Steigung ist somit \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) . Je näher beide Punkte beieinander liegen, umso besser spiegelt der Wert die Steigung der Funktion \(f(x)\) bei \(x\) wider. Der Grenzwert für \(h\rightarrow 0\) ist die Ableitung der Funktion an der Stelle \(x\) . Diese ist definiert durch: \(f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\) sofern dieser Grenzwert existiert und eindeutig ist. In dem Fall heißt die Funktion differenzierbar bei \(x\) . Die meisten Funktionen im Zusammenhang mit ökonomischen Anwendungen sind differenzierbar und lassen sich mit Ableitungsregeln bestimmen. Diese werden in Abschn. 9.1 und 9.2 behandelt. In Abschn. 9.3 wird der Begriff der Elastizität erläutert. Dieser beschreibt die Wirkung relativer Änderungen einer ökonomischen Größe auf eine andere.