Vektoranalysis und Kurvenintegrale

Wir bewegen uns im Schwerefeld der Erde. Im täglichen Leben haben wir durch die Nutzung elektrischer Geräte mit elektrischen Feldern und Magnetfeldern zu tun. Die Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen wird durch Geschwindigkeitsfelder beschrieben. In den genannten Fällen kann man die Felder durch Abbildungen aus dem \(\mathbb {R}^3\) (dem dreidimensionalen physikalischen Raum, wo z. B. die Flüssigkeit strömt) in den \(\mathbb {R}^3\) (den Raum der Geschwindigkeitsvektoren) auffassen. Solche Abbildungen, die wir in Kap.  5 als „vektorwertige Abbildungen“ bezeichnet hatten, nennt man im Rahmen der Vektoranalysis auch Vektorfelder.Vektorfeld Man beschränkt den Begriff Vektorfeld dabei nicht auf Abbildungen aus dem \(\mathbb {R}^3\) in den \(\mathbb {R}^3\) , sondern bezieht an verschiedenen Stellen der Theorie Abbildungen \(\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}^m\) mit \(m>1\) ein, wenn dann auch mitunter die physikalische Entsprechung abhanden kommt. Abbildungen aus dem \(\mathbb {R}^n\) in \(\mathbb {R}\) , die wir bisher reellwertige Abbildungen genannt haben, bezeichnet man im Kontext der Analysis auch als Skalarfelder.Skalarfeld Ein Beispiel für ein Skalarfeld ist die Temperatur als Funktion der drei Ortskoordinaten und der Zeit (d. h. \(n=4\) ) in einem Hörsaal. Mit dem Begriff „Feld“ wird zum Ausdruck gebracht, dass die betreffende Größe (Vektor oder Skalar) auf einer gewissen Menge \(D\subset \mathbb {R}^n,\, n> 1\) definiert ist. Im Folgenden sollen die grundlegenden Operatoren und Elemente der Vektoranalysis dargestellt werden. Ein Ziel ist der sichere Umgang mit Vektorfeldern. Außerdem werden mit den Potentialfeldern und ihren Eigenschaften wichtige Spezialfälle von Vektorfeldern behandelt. Schließlich wird erklärt, wie man die Arbeit berechnen kann, die eine Kraft leistet, wenn man einen Massenpunkt auf einer vorgegebenen Bahnkurve bewegt.