Gewöhnliche Differentialgleichungen

In vielen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch in den Sozialwissenschaften und der Medizin erhält man im Ergebnis von mathematischen Modellierungen Gleichungen, in denen neben der gesuchten Funktion auch deren Ableitungen vorkommen. Beispiele für das Auftreten solcher Gleichungen sind Steuerung von Raketen und Satelliten in der Luft- und Raumfahrt, chemische Reaktionen in der Verfahrenstechnik, Steuerung der automatischen Produktion im Rahmen der Robotertechnik und in der Gerichtsmedizin die Bestimmung des Todeszeitpunktes bei Gewaltverbrechen. Interessiert man sich z. B. für den Luftdruck p(x) in beliebiger Höhe x über der Erdoberfläche, so erhält man aufgrund physikalischer Gesetze die Gleichung \(\frac{d\, p(x)}{dx} = - \frac{\rho _0}{p_0}g\, p(x)\) ; die Konstante \(\frac{\rho _0}{p_0 }g\) setzt sich zusammen aus Luftdichte \(\rho _0\) , Luftdruck \(p_0\) auf der Erdoberfläche ( \(x=0\) ) und Betrag der Erdbeschleunigung g. Die Gleichung enthält neben der gesuchten Funktion p(x) auch deren Ableitung \(\frac{d\, p(x)}{dx}\) . Gleichungen, in denen sowohl die gesuchte Funktion als auch deren Ableitungen vorkommen, heißen Differentialgleichungen, und mit Gleichungen dieser Art wollen wir uns in diesem Kapitel befassen.