Analysis im \(\mathbb {R}^n\)

Der \(\mathbb {R}^n\) ist uns als \(n-\) dimensionaler Vektorraum aus den vorangegangenen Kapiteln bekannt. Das vorliegende Kapitel befasst sich vorwiegend mit Eigenschaften von Abbildungen oder Funktionen, deren Definitionsbereich D eine Teilmenge des \(\mathbb {R}^n\) ist, und deren Wertebereich W eine Teilmenge des \(\mathbb {R}^m\) ist. Dabei ist der Fall \(n=m=1\) als Spezialfall eingeschlossen. I. Allg. ist jedoch mindestens eine der natürlichen Zahlen n und m größer als 1. Ein Beispiel für eine reell-wertige Funktion zweier Veränderlicher ist die Zustandsgleichung eines idealen Gases \(p(V,T) = R\cdot T/V\) , also ein Gesetz zur Berechnung des Druckes p in Abhängigkeit vom Volumen V und von der Temperatur T. R ist die universelle Gaskonstante. In diesem Fall ist \(n=2\) und \(m=1\) . Neben der Beschreibung von naturwissenschaftlichen Gesetzmäßigkeiten werden Funktionen und Abbildungen mehrerer Veränderlicher benutzt, um nichtlineare algebraische Gleichungssysteme zu lösen sowie Extremalpunkte von Funktionen im \(\mathbb {R}^n\) zu bestimmen. Dazu ist es erforderlich, Begriffe wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu verallgemeinern. Damit wird es möglich, komplizierte nichtlineare Zusammenhänge, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen, durch lineare und quadratische Approximationen näherungsweise zu beschreiben.