Lineare Algebra

Das mathematische Gebiet der Algebra umfasste historisch zunächst vor allem Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten, d. h. zur Lösung „algebraischer Gleichungen“. Bis heute hat diese mathematische Disziplin vielfältige Erweiterungen erfahren. An vielen Stellen der Mathematik taucht der Begriff „Algebra“ auf, z. B. algebraisch abgeschlossene Körper (s. Abschn.  1.5.4 ), algebraische Zahlentheorie, Mengenalgebra, algebraisches Komplement (s. Abschn. 4.1), algebraische Vielfachheit von Eigenwerten (s. Abschn. 4.7). Die lineare Algebra befasst sich mit Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme und der Theorie linearer Räume. Ein Motiv für die Befassung mit diesen Themen sind Linearisierungen von nichtlinearen Aufgabenstellungen der Physik und der Ingenieurwissenschaften, die oft nur sehr schwer direkt zu lösen sind. Des Weiteren sind homogene lineare Gleichungen interessant, weil für deren Lösungen das SuperpositionsprinzipSuperpositionsprinzip gilt. D. h. mit zwei oder mehr Lösungen sind auch deren Linearkombination eine Lösung eines homogenen linearen Problems. Dieses Prinzip gilt auch für lineare homogene Differentialgleichungen (Kap.  6 und 9 ). Die Lösungen bilden einen linearen Raum. Hilfsmittel wie Vektoren, Matrizen und Determinanten spielen in der linearen Algebra eine wichtige Rolle und werden deshalb ausführlich behandelt. Im vorliegenden Kapitel werden mit der Untersuchung von Eigenwertproblemen auch Grundlagen zur Lösung von Differentialgleichungen gelegt. Leser, die sich der „Linearen Algebra“ über die Vektorrechnung im \(\mathbb {R}^3\) nähern möchten, finden im Abschn. 4.8 einen geeigneten Einstieg. Dort wo es möglich ist, werden Bezüge zum Raum der Anschauung und geometrische Interpretationen von Sachverhalten der linearen Algebra dargestellt.