Reihen

Im vorangegangenen Kapitel wurden Taylor-Polynome, d. h. Summen aus endlich vielen Potenzfunktionen, als Mittel zur Approximation von hinreichend oft differenzierbaren Funktionen behandelt. Im folgenden Kapitel sollen nun Summen mit „unendlich“ vielen Summanden betrachtet werden. Solche Summen werden auch Reihen genannt. Mit Hilfe des mathematischen Grenzwertbegriffs lässt sich für derartige Summen aus unendlich vielen Summanden entscheiden, wann man ihnen vernünftigerweise einen Sinn geben, d. h. eine konkrete Summe zuordnen kann, und wann nicht. Reihen werden bei der Approximation von Funktionen verwendet. Ein weiteres Anwendungsgebiet von Reihen ist die näherungsweise Berechnung von Integralen und die Bestimmung von Näherungslösungen für Differentialgleichungen. Bei der Beschreibung von periodischen Prozessen spielen spezielle Funktionenreihen im Rahmen der Fourier-Analyse eine zentrale Rolle. Reihen finden auch Anwendung bei der Berechnung von Funktionswerten der Exponentialfunktion oder trigonometrischer Funktionen auf Rechnern. Bevor man allerdings Reihen anwenden kann, ist es erforderlich, Konvergenzverhalten und Konvergenzbereiche sowie Methoden zur Konstruktion von Reihen zu einem bestimmten Zweck zu untersuchen.