Variationsrechnung und Optimierung

Die Ursprünge der Variationsrechnung gehen auf Johann Bernoulli im Jahr 1696 zurück. Er stellte die Frage nach der Bahnkurve, auf der ein Massenpunkt M in einer vertikalen Ebene vom Punkt A zum Punkt B unter dem Einfluss der Schwerkraft in minimaler Zeit gleitet. Diese Aufgabe wurde Brachistochrone-ProblemBrachistochrone-Problem genannt (griechisch steht brachys für kurz und chronos für die Zeit). Die Beantwortung der Frage von Bernoulli ist mit der klassischen Variationsrechnung möglich. Die Variationsrechnung befasst sich mit der Bestimmung von Extremwerten von Funktionalen. Funktionale können als Verallgemeinerung der Funktionen aufgefasst werden. Sie bilden Elemente einer Klasse von Funktionen auf die Menge der reellen Zahlen ab. Oft kann man die Klasse von Funktionen, d. h. den Definitionsbereich eines Funktionals, als Banach-Raum auffassen. In der Variationsrechnung wird dann die Funktion der betrachteten Klasse bzw. das Element eines Banach-Raumes gesucht, die bzw. das von dem Funktional auf ein (relatives) Extremum (Optimum) im Wertebereich \(\mathbb {R}\) abgebildet wird.