Funktionentheorie

Komplexe Zahlen haben sich den vorangegangenen Kapiteln oft als wichtiges Hilfsmittel bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei der Berechnung von Integralen und bei der Beschreibung von Sachverhalten der Elektrotechnik erwiesen. Im Folgenden sollen nun komplexwertige Funktionen komplexer Veränderlicher, also \(f:{\mathbb {C}}\longrightarrow {\mathbb {C}}\) behandelt werden. Wir werden uns dabei auf die Kenntnisse über komplexe Zahlen stützen und feststellen, dass z. B. die Integration komplexer Funktionen in einem starken Bezug zu den Kurvenintegralen steht. Insbesondere die durch komplexe Funktionen realisierten Abbildungen finden in vielen Ingenieurdisziplinen Anwendung, wie z. B. bei den Gebietstransformationen und der Konstruktion von orthogonalen Diskretisierungen zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Funktionentheoretische Methoden finden beim Lösen von elektrostatischen Problemen in der Ebene oder bei der Beschreibung von Strömungen Anwendung. Eine große Bedeutung haben Integrale von komplexen Funktionen bei den im nächsten Kapitel zu behandelnden Integraltransformationen. Außerdem zeigt sich, dass Integrale komplexer Funktionen auch für die Berechnung von uneigentlichen Integralen reeller Funktionen eingesetzt werden können. Insgesamt ist es aber im Rahmen dieses Buches nur möglich, einige nach unserer Meinung für angewandt arbeitende Mathematiker, Ingenieure und Physiker interessante Elemente des umfassenden mathematischen Gebiets der Funktionentheorie anzusprechen.