Das Lebesgue-Integral

Kapitel 8 ist dem (mehrdimensionalen) Lebesgue-Integral gewidmet. Nach den Vorarbeiten des fünften Kapitels kommt es sehr schnell zu den typisch mehrdimensionalen Sätzen von Fubini und Tonelli und der Transformationsformel. Diese Sätze werden durch viele nichttriviale Beispiele und Anwendungen erläutert. Diskutiert werden weiterhin die Vollständigkeit der \(\mathcal {L}^p\) -Räume, die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, die Faltung integrierbarer Funktionen und die Approximation durch \(\mathcal C^\infty \) -Funktionen – paradoxerweise mittels ‘Glättung durch Faltung’. Für die Entwicklung einer allgemeinen Maß- und Integrationstheorie sind alle Grundlagen vorbereitet.