Folgen und Reihen

Im Zusammenhang mit Folgen und Reihen tritt zum ersten Mal der für die Analysis fundamentale und charakteristische Grenzwert oder Limes auf. Dieser im weiteren Verlauf in verschiedener Gestalt immer wieder auftretende Begriff wird ausführlich diskutiert und an vielen konkreten Beispielen erläutert. Dem besonders wichtigen Spezialfall der monotonen Folgen und ihrem Pendant, den positive Reihen wird besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Die Bedeutung dieser Reihen zeigt sich insbesondere im Abschnitt über Mehrfachreihen, der in die verschiedenen Versionen des Doppelreihensatzes mündet. Eingeschoben wird verschiedentlich die naheliegende Betrachtung komplexer Folgen und Reihen. Die angegebenen Beweise des Satzes von Bolzano-Weierstraß sowie eines Spezialfalls des Satzes von Heine-Borel lassen sich unmittelbar auf den n-dimensionale Fall übetragen. Das Kapitel wird abgeschlossen mit einigen historischen Bemerkungen über die Entwicklung des Reihenbegriffs, der in gewisser Weise natürlicher als der Folgenbegriff ist.