Die Jordan- und Frobenius-Normalform

In diesem Kapitel benutzen wir die Theorie der Dualität, um die Eigenschaften eines Endomorphismus f auf einem endlichdimensionalen Vektorraum  \(\mathcal {V}\) genauer zu untersuchen. Hierbei geht es uns insbesondere um die algebraische und geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte von f und die Charakterisierung der entsprechenden Eigenräume. Unsere Strategie in dieser Untersuchung ist, den Vektorraum \(\mathcal {V}\) so in eine direkte Summe f-invarianter Unterräume zu zerlegen, dass bei einer geeigneten Wahl von Basen in den jeweiligen Unterräumen die Eigenschaften von f anhand der entsprechenden Matrixdarstellung offensichtlich werden. Diese Idee führt uns auf die Jordan-Normalform von Endomorphismen und Matrizen, die existiert, wenn das charakteristische Polynom von f bzw. A in Linearfaktoren zerfällt. Wegen ihrer großen Bedeutung für die Theorie der Linearen Algebra hat es seit ihrer Entdeckung im 19. Jahrhundert zahlreiche weitere Herleitungen der Jordan-Normalform mit den unterschiedlichsten mathematischen Hilfsmitteln gegeben. Unser Zugang mit der Dualitätstheorie basiert PersonenPták, Vlastimil (1925–1999) auf der Arbeit [Pta56] von Vlastimil Pták (1925–1999).Mit der gleichen Strategie leiten wir in diesem Kapitel auch die Frobenius-Normalform von Endomorphismen und Matrizen her. Im Gegensatz zur Jordan-Normalform existiert die Frobenius-Normalform selbst dann, wenn f bzw. A keine Eigenwerte besitzt.