Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra

Aus der Untersuchung der Eigenwerte von Matrizen und Endomorphismen wissen wir, dass diese die Nullstellen der charakteristischen Polynome sind. Da nicht jedes Polynom über jedem Körper in Linearfaktoren zerfällt, stellt sich die Frage, wann eine Matrix oder ein Endomorphismus Eigenwerte besitzt. Um diese Frage zu beantworten, beschäftigen wir uns in diesem Kapitel im Detail mit Polynomen. Wir beweisen den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom über \(\mathbb {C}\) hat mindestens eine Nullstelle in \(\mathbb {C}\) . Somit haben jede Matrix über \(\mathbb {C}\) und jeder Endomorphismus auf einem \(\mathbb {C}\) -Vektorraum (ungleich Null) mindestens einen Eigenwert.