Einführende Beispiele, Potenzsummen

Erste Beispiele für figurierte Zahlen sind die Dreieckszahlen (Triagonalzahlen) und Viereckszahlen (Quadratzahlen). Als Dreieckszahlen werden die Anzahlen \(D(1) = 1, D(2) = 3 (= 1 + 2), D(3) = 6 (=1 + 2 + 3), D(4) = 10 (= 1 + 2 + 3 + 4), \quad \ldots \) bezeichnet, die sich aus den Punkten in regelmäßigen Dreiecksmustern ergeben. Die Dreieckszahl D(4) spielte als „Tetraktys“ eine wichtige Rolle in der griechischen Kosmologie. Die Methode der figurierten Zahlen zeigt unmittelbar, dass die Summe zweier benachbarter Dreieckszahlen stets eine Quadratzahl ist. Die Gnomon-Methode zeigt in paradigmatischer Weise, dass die fortlaufend gebildete Summe ungerader Zahlen, beginnend bei 1, stets eine Quadratzahl ist. Unterschiedliche Konfigurationen aus quadratischen Plättchen liefern Formeln für die fortlaufend gebildete Summe von Quadratzahlen und stellen Verbindungen zu den Kubikzahlen her. Das Kapitel schließt mit weiteren regelhaften Zahlenmustern, die aus ungeraden Zahlen gebildet werden, sowie mit kurzen Bemerkungen zur weiteren Entwicklung im Verlauf des historischen Prozesses.