Zyklische Codes

Die Leistungsfähigkeit von Codes, welche so bekannten alltäglichen Anwendungen wie USB, Bluetooth, WLAN, SD-Karten, CD, DVD … zugrunde liegen, beruht auf der Eigenschaft, dass sie mit jedem Codewort auch jenes mit „zyklisch“ vertauschten Komponenten enthalten. Nachdem im Kap.  5 die große Effizienz von Polynomcodes herausgearbeitet wurde, wird zunächst versucht, die Zyklizität mittels Polynommultiplikation zu erzeugen. Dies gelingt durch Ersetzung des Resultates des Produktes der „gewöhnlichen“ Polynommultiplikation durch den Rest bei Division durch (xn − 1). Dieses Produkt wird als „∗-Produkt“ bezeichnet. Zyklische Codes können dann als „Ideale“ in dem „neuen“ Polynomring \( \left(\mathbb {K}{\left[x\right]}_n,+,\ast \right) \) charakterisiert werden. Zyklische Codes C erhalten damit eine reichhaltigere algebraische Struktur als lineare Codes. Sie besitzen zusätzlich zur Teilraumstruktur noch eine Idealstruktur. Mit Codewörtern kann man damit nicht nur Linearkombinationen bilden, sondern sie auch mit beliebigen Polynomen multiplizieren, ohne C zu verlassen. So gelingt dann der Nachweis, dass zyklische Codes Polynomcodes bezüglich eines eindeutig bestimmten normierten Generatorpolynoms sind. Dieser Nachweis wird elementar ohne Verwendung von Begriffen aus der höheren Algebra (Faktorring, Hauptidealring) geleistet. Analog zur Kontrollmatrix bei Linearcodes gibt es auch bei zyklischen Codes ein Kontrollpolynom, das sogar eindeutig bestimmt ist. Damit kann wie im linearen Fall eine Syndromdecodierung mittels Polynomen aufgebaut werden. Wegen der reichhaltigeren algebraischen Struktur der zyklischen Codes ist diese effizienter als die Decodierung mittels Syndromen der Nebenklassenführer bei linearen Codes.