Polynomcodes

Im Kap.  4 wurden Codewörter der Länge n über einem Körper \( \mathbb {K} \) als Vektoren des \( {\mathbb {K}}^n \) aufgefasst. Besonders leistungsfähige Codes über \( \mathbb {K} \) waren damit nicht nur Teilmengen des \( {\mathbb {K}}^n \) , sondern sogar Teilräume des \( {\mathbb {K}}^n \) . Ihre Effizienz beruhte auf der Möglichkeit, die Theorie der Vektorräume einfließen lassen zu können. Dazu war es notwendig, als Alphabete Körper vorauszusetzen. Nun gehen wir einen Schritt weiter und fassen Codewörter als Polynome über \( \mathbb {K} \) auf. Beim Rechnen mit Polynomen gibt es im Gegensatz zum Rechnen mit Vektoren zusätzlich eine Multiplikation und damit eine Division (gegebenenfalls mit Rest), analog zur „Division mit Rest“ beim Rechnen mit ganzen Zahlen (vgl. Abschn.  10.8 ). Wir bemerken, dass die „Skalarmultiplikation“ zweier Vektoren als Ergebnis nur ein Element des Körpers \( \mathbb {K} \) ergibt und damit keine „echte“ algebraische Operation ist (vgl. zu diesem Problemkreis die Überlegungen zum Begriff der algebraischen Operation in Abschn.  10.3 ).