Grundlagen aus der System- und Regelungstheorie

Ganz allgemein werden in der System- und Regelungstheorie Systeme der Form \(\begin{aligned} \begin{aligned} \dot{x}(t) &= f(x,u,t), \quad t>t_0, \quad x(t_0)=x^0, \\ y(t) &= h(x,u,t) \end{aligned} \end{aligned}\) betrachtet mit dem ZustandZustandsvektor  \(x\in \mathbb {R}^n,\) dem EingangEingangsvektor  \(u \in \mathbb {R}^m,\) dem AusgangAusgangsvektor  \(y\in \mathbb {R}^p,\) und Funktionen \(f:\mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^m \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^n\) und \(h:\mathbb {R}^n \times \mathbb {R}^m \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^p,\) also einem System von n gewöhnlichen Differenzialgleichungen erster Ordnung \(\begin{aligned} \dot{x}_1 = & {} f_1(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t), \quad x_1(t_0) = x_1^0,\\ \dot{x}_2 = & {} f_2(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t), \quad x_2(t_0) = x_2^0,\\ &\vdots &\\ \dot{x}_n = & {} f_n(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t), \quad x_n(t_0) = x_n^0, \end{aligned}\) sowie p Gleichungen \(\begin{aligned} y_1 = & {} h_1(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t),\\ y_2 = & {} h_2(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t),\\ &\vdots &\\ y_p = & {} h_p(x_1, \ldots , x_n, u_1, \ldots , u_m,t), \end{aligned}\) die den Systemausgang und z. B. Meßgrößen modellieren. Im Folgenden werden wir die Abhängigkeit des Zustands x(t) und des Ausgangs y(t) von der gewählten Steuerung u(t),  dem Anfangszeitpunkt \(t_0\) und dem Anfangszustand \(x^0\) durch die Notation \(x(t) = x(t;u,x_0,t_0)\) und \(y(t) = y(t;u,x_0,t_0)\) ausdrücken.