Irrfahrten auf dem ganzzahligen Gitter $\mathbb{Z}^d$

Dieses Kapitel betrachtet die Irrfahrt auf dem ganzzahligen Gitter in höheren Dimensionen. Ein zentrales Resultat ist der Satz von Pólya, nach dem eine symmetrische Irrfahrt in der Ebene mit Wahrscheinlichkeit eins wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, diese sogenannte Rekurrenzeigenschaft aber im drei- und höherdimensionalen Fall verloren geht. Weiteres Thema ist die Anzahl der von einer Irrfahrt gegebener Länge besuchten Zustände. Hier zeigt sich, dass der relative Anteil der verschiedenen besuchten Zustände stochastisch gegen die Wahrscheinlichkeit konvergiert, dass die Irrfahrt nicht zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das Kapitel schließt mit dem diskreten Dirichlet-Problem.