Questo capitolo introduce i principali sistemi numerici di utilizzo più frequente nell’Analisi Matematica (di base). Seguiremo un approccio pragmatico, introducendo direttamente il campo ordinato dei numeri reali attraverso un sistema di assiomi che lo caratterizzano completamente, e definiremo i numeri naturali come un particolare sottoinsieme dei numeri reali. (Tecnicamente gli assiomi caratterizzano il campo ordinato dei numeri reali solo a meno di isomorfismi, cioè di corrispondenze biunivoche che rispettano le operazioni di campo. Ma di questa parziale unicità ci accontenteremo di sapere che sussiste, senza arrischiare una dimostrazione rigorosa). L’approccio più intuitivo, che consiste nel definire per primi i numeri naturali e nel costruire a partire da essi i numeri interi, poi i razionali e infine i reali, ci lascerebbe con il difficile compito di trovare una costruzione dei numeri naturali che si basi esclusivamente sulla teoria degli insiemi. Questo è certamente possibile, ma tutt’altro che ragionevole nei limiti di un primo corso di Analisi Matematica come è il nostro. Seguendo una via che è meno deduttiva ma pedagogicamente più diretta, introdurremo fin dall’inizio un sistema assiomatico che descrive il sistema dei numeri reali come campo totalmente ordinato con una proprietà specifica: l’assioma di Dedekind, che poi si riduce alla completezza per l’ordine. Tra le molte fonti a disposizione, seguiamo qui l’esposizione di 14 .