La teoria dei numeri trascendenti, ossia dei numeri che non sono radici di polinomi a coefficienti interi, ha avuto inizio con una memoria di Liouville del 1844, nella quale si dimostrava l’esistenza di una classe, piuttosto ampia, di tali numeri. I problemi legati all’irrazionalità erano già stati ampiamente studiati e risale infatti al 1744 la dimostrazione di Eulero dell’irrazionalità di \(e\) ed al 1761 la dimostrazione di Lambert dell’irrazionalità di \(\pi\) . Nel 1874 Cantor introdusse il concetto di infinito numerabile e questo portò immediatamente alla constatazione che ‘quasi tutti’ i numeri reali sono trascendenti. La dimostrazione della trascendenza di \(e\) compare in una memoria di Hermite del 1873 che è stata fonte di ispirazione per molti anni a seguire. Nel 1882 Lindemann riusci ad estendere il lavoro di Hermite per dimostrare la trascendenza di \(\pi\) e, di conseguenza, a chiudere definitivamente l’antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso. A differenza dei precedenti capitoli, dove le tecniche usate sono state quasi esclusivamente algebriche, qui avremo costantemente bisogno di alcuni risultati di analisi matematica solitamente insegnati al primo anno dei corsi universitari: useremo derivate, integrali, sviluppi di Taylor di funzioni esponenziali e trigonometriche, più alcune proprietà delle serie numeriche, sia reali che complesse.