Per svariati motivi di natura matematica, fisica e scientifica, è interessante studiare la geometria degli spazi \(\mathbb{R}^{n}\) e \(\mathbb{C}^{n}\) dove, oltre alle usuali strutture lineari, si considerano anche le strutture indotte da quelli che gli anglofoni chiamano i ‘‘dot products’’ \(\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\xrightarrow{\;\cdot\;}\mathbb{R},\qquad x\cdot y=x^{T}y=\sum_{i}x_{i}y_{i},\\ \displaystyle&\displaystyle\mathbb{C}^{n}\times\mathbb{C}^{n}\xrightarrow{\;\cdot\;}\mathbb{C},\qquad x\cdot y=x^{T}\overline{y}=\sum_{i}x_{i}\overline{y_{i}},\end{aligned}\end{gathered}\) e che noi chiameremo prodotto scalare canonico (nel caso reale) e prodotto hermitiano canonico (nel caso complesso). Il primo problema che dobbiamo affrontare è che tali prodotti non sono invarianti per cambi di coordinate; questa considerazione ci conduce in maniera naturale alle nozioni di spazio vettoriale euclideo e spazio vettoriale hermitiano, che introdurremo in questo capitolo.