Ein moderner Zirkel ist ein fester Zirkel: Der Abstand zwischen den beiden Schenkeln kann festgelegt werden, sodass es möglich ist, eine Strecke oder einen Kreis von einer Position zu einer anderen zu kopieren. Euklid verwendete einen kollabierenden Zirkel, dessen Schenkel zusammenklappen, wenn der Zirkel angehoben wird. Es ist unmöglich, allein durch Bewegung des Zirkels von einer Position in eine andere eine feste Strecke zu übertragen. Euklid fand eine Konstruktion zur Übertragung einer Strecke mit einem kollabierenden Zirkel. Damit ist gezeigt, dass jede Konstruktion, die mit einem festen Zirkel durchgeführt werden kann, auch mit einem kollabierenden Zirkel durchgeführt werden kann. Im Kapitel präsentiert werden sowohl der korrekte Beweis von Euklid als auch einer der vielen inkorrekten Beweise, die seitdem angefertigt wurden. Letztere liefern Konstruktionen, die nicht für alle Konfigurationen von Geraden und Punkten funktionieren. Um zu verdeutlichen, dass man Diagrammen nicht trauen darf, wird der berühmte angebliche Beweis vorgestellt, dass alle Dreiecke gleichschenklig sind.