La merveilleuse équation de Laplace

Dans ce chapitre, on étudie l’équation de Laplace depuis sa genèse avec Euler en 1752 jusqu’aux algorithmes modernes de sa solution numérique. Cette équation, ou le Laplacien (opérateur de Laplace), apparaissent dans presque tous les grands modèles de la physique mathématique. On verra comment elle apparaît dans la théorie gravitationnelle. On présente ensuite le théorème de la moyenne par rapport à la frontière du domaine connexe considéré. Puis, on examine le lien entre la théorie du potentiel et les fonctions à variables complexes, et celui avec les opérateurs vectoriels (gradient, divergence), et l’intégrale de Thomson-Dirichlet. Dans la section 7, on commente la classification des équations différentielles partielles, l’existence et l’unicité de la solution de l’équation de Laplace, puis on généralise ceci au cas des dérivées fractionnaires. Dans la section 8, on présente succinctement des méthodes pour résoudre numériquement l’équation de Laplace avec des frontières complexes.