Unzerlegbare Moduln

Wir haben gesehen, dass für eine halbeinfache Algebra jeder Modul ungleich dem Nullmodul eine direkte Summe von einfachen Moduln ist (siehe Satz 4.11). Wir untersuchen nun, wie sich dies verallgemeinert, wenn wir endlich-dimensionale Moduln betrachten. Wenn die Algebra nicht halbeinfach ist, muss man unzerlegbare Moduln anstelle von einfachen Moduln betrachten, und dann könnte man hoffen, dass jeder endlich-dimensionale Modul eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln ist. Wir werden zeigen, dass dies tatsächlich der Fall ist. Darüber hinaus werden wir zeigen, dass eine direkte Summenzerlegung in unzerlegbare Summanden im Wesentlichen eindeutig ist; dies ist bekannt als der Satz von Krull–Schmidt.