Die Struktur von halbeinfachen Algebren: Satz von Artin–Wedderburn

In diesem Kapitel werden wir den grundlegenden Satz von Artin–Wedderburn beweisen, der halbeinfache K-Algebren vollständig klassifiziert. Wir haben in Beispiel 4.19 gesehen, dass endliche direkte Produkte \(M_{n_1}(K)\times \ldots \times M_{n_{r}}(K)\) von Matrixalgebren halbeinfache K-Algebren sind. Wenn der Körper K algebraisch abgeschlossen ist, zeigt der Satz von Artin–Wedderburn, dass in der Tat jede halbeinfache Algebra isomorph zu einer solchen Algebra ist. Im Allgemeinen ist eine halbeinfache Algebra isomorph zu einem direkten Produkt von Matrixalgebren, bei denen aber die Einträge in den Matrixblöcken Elemente von Divisionsalgebren über K sind.