Der Satz von Gabriel

Sei Q ein Köcher ohne orientierte Zyklen, dann ist für jeden Körper K die Wegealgebra KQ endlich-dimensional (siehe Übung 1.2). Wir wollen wissen, wann Q endlichen Darstellungstyp hat; dies wird vollständig durch den Satz von Gabriel beantwortet. Sei \(\bar{Q}\) der zugrunde liegende Graph von Q, den erhalten wir, indem wir die Orientierung der Pfeile ignorieren. Der Satz von Gabriel besagt, dass KQ genau dann endlichen Darstellungstyp hat, wenn \(\bar{Q}\) die disjunkte Vereinigung von Dynkin-Diagrammen vom Typ A, D und E ist. Die relevanten Dynkin-Diagramme sind in Abb. 10.1 aufgeführt. Insbesondere hängt der Darstellungstyp von Q nicht von der Orientierung der Pfeile ab. Außerdem gilt der Satz von Gabriel für einen beliebigen Körper K.