Integration bei Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher

In diesem Kapitel soll die in Kapitel 3 enthaltene Theorie des klassischen Riemann-Stieltjes Integrales in zwei Richtungen verallgemeinert werden. Zum Erstenwerden wir reell- oder komplexwertige Funktionen betrachten, deren Definitionsbereicheine Teilmenge des Rn, n ∈ N, ist. Um eine gr¨oßere Allgemeinheit zu erreichen,handelt ein großer Teil der Theorie sogar von skalaren Funktionen auf einerabstrakten Menge X, die lediglich eine gewisse Struktur tragen muss, ein Maßraum.Zum Zweiten werden wir auch im Falle X = R, also in der Situation desKapitels 3, einer weitaus gr¨oßeren Klasse von Funktionen ein Integral zuordnenk¨onnen und somit einen entscheidenden Nachteil der Riemannschen Integrationstheoriebeseitigen. Wir werden uns nicht l¨anger auf Funktionen mit h¨ochstensabz¨ahlbar vielen Unstetigkeitsstellen zu beschr¨anken haben und sind in der Lage,bei der Integration die Klasse der Riemann-integrierbaren Funktionen zu verlassen,die sich in vielen F¨allen als zu klein erwiesen hat. Selbstverst¨andlich wirddas neu zu definierende Integral bei allen Riemann-integrierbaren Funktionen mitdem fr¨uheren Integral ¨ubereinstimmen.