Die reellen Zahlen

Die reellen Zahlen bilden das Fundament der Analysis. Dieses Kapitel soll ¨ubersie und ebenfalls ¨uber die komplexen Zahlen prinzipielle Klarheit schaffen undunsere Kenntnisse pr¨azisieren. Wir werden nur die nat¨urlichen Zahlen und derenelementare Struktur als bekannt voraussetzen. Es ist keinesfalls einfach, pr¨azisezu erkl¨aren, was die reellen Zahlen sind. Es kommen einem etwa die unendlichenDezimalbr¨uche in den Sinn, ferner die Punkte einer Gerade, etc. Man kann solchenaiven Ideen pr¨azisieren und zu einer konstruktiven Definition der reellen Zahlenausbauen. Wir werden das hier nicht tun – einmal, weil dieses Verfahren kompliziertund zeitraubend ist und die Leserin oder der Leser in diesem Stadiumseiner Kenntnisse vor technischen Details kaum den roten Faden wird erkennenk¨onnen und zum andern, weil eine explizite Konstruktion der reellen Zahlen f¨urden Aufbau der Theorie durchaus entbehrlich ist. Es kommt nicht darauf an, wasdie reellen Zahlen laut einer speziellen Konstruktion sind und erst recht nichtdarauf, was sie in einem metaphysischen Sinne sind, sondern wesentlich ist allein,was man mit ihnen machen kann, das heißt, welche Operationen und Relationenim Bereich der reellen Zahlen existieren und welche Gesetze hierf¨ur bestehen.Das ist die Grundidee der axiomatischen Methode, an die wir uns hier haltenwerden. Wir werden die reellen Zahlen axiomatisch als eine Gesamtheit von Elementeneinf¨uhren, auf der bestimmte Operationen und Relationen erkl¨art sind,die bestimmte Gesetze erf¨ullen. Die Grund-Operationen und -Relationen und dieGrund-Gesetze (= Axiome) werden danach bestimmt, dass sie einerseits unserenanschaulichen Vorstellungen von den reellen Zahlen entsprechen und andererseitsm¨oglichst einfach und ¨ubersichtlich beschaffen sind. Wir werden dementsprechendin der axiomatischen Definition der reellen Zahlen zwei bin¨are Operationen, diewir Addition und Multiplikation nennen werden, sowie eine Anordnungsrelationverwenden. Neben einer Reihe von einfachen und vertrauten Grundgesetzen wirdals fundamentales Existenzpostulat das Axiom vom Dedekindschen Schnitt ineiner leichten Variante treten.