Leggi di bilancio ed integrali primi in Meccanica

Il fine di questo capitolo è quello di introdurre alcune quantità fisiche relative a sistemi di punti materiali, che entrano in gioco in particolari ‘‘leggi di bilancio’’ e leggi di ‘‘conservazione’’. Tali leggi sono, in realtà, teoremi che seguono dai principi della meccanica classica enunciati nel capitolo 4. Essi riguardano, in particolare, la quantità di moto, il momento angolare e l’energia meccanica. Daremo una trattazione comune al caso di un solo punto materiale e di sistemi di punti materiali. Solitamente, ma ci sono alcune eccezioni, la forma generale dell’enunciato di questi teoremi è un’uguaglianza tra la derivata temporale di una certa grandezza \(G\) , funzione delle posizioni e delle velocità dei punti costituenti un sistema fisico (in un fissato sistema di riferimento), ed una seconda grandezza \(X\) , normalmente riguardante l’‘‘esterno’’ del sistema: \(\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\frac{dG(P_{1}(t),\ldots,P_{N}(t),{\mathbf{v}}_{P_{1}}(t),\ldots,{\mathbf{v}}_{P_{N}}(t))}{dt}\\ \displaystyle&\displaystyle=X(t,P_{1}(t),\ldots,P_{N}(t),{\mathbf{v}}_{P_{1}}(t),\ldots{\mathbf{v}}_{P_{N}}(t),\text{``var. est.''})\,.\end{aligned}\) L’uguaglianza sussiste quando il sistema evolve in conformità delle leggi della dinamica C1–C4 enunciate nel capitolo 4. Quando la grandezza a secondo membro è nulla (almeno sul moto considerato), la legge di bilancio diventa una legge di conservazione nel tempo della quantità a primo membro valutata su un fissato moto del sistema fisico. Dal punto di vista della teoria dei sistemi di equazioni differenziali, le grandezze conservate nel tempo vengono chiamate del moto (si veda la definizione 16.2).