Teoria hamiltoniana canonica, simmetrie hamiltoniane e teoria di Hamilton-Jacobi

In questo capitolo ci occuperemo di alcuni argomenti più avanzati di meccanica di Hamilton. Introdurremo in particolare la teoria delle trasformazioni canoniche, le parentesi di Poisson, al fine di studiare, in formulazione di Hamilton, il legame tra simmetrie e leggi di conservazione. Con le trasformazioni canoniche di coordinate introdurremo un atlante particolare dello spaziotempo delle fasi che estende quello delle coordinate naturali. Usando tale atlante riformuleremo il teorema di Liouville e ne otterremo come conseguenza il teorema ‘‘di ricorrenza’’ di Poincaré. Nella parte finale ritorneremo sulla nozione di trasformazione canonica da un nuovo punto di vista, con il fine di introdurre la teoria di Hamilton-Jacobi. Escludendo la prima sezione di questo capitolo, che usa solo la nozione di gruppo simplettico \(Sp(n,{\mathbb{R}})\) (12.74) introdotta nella sezione 12.5.2, le rimanenti sezioni richiedono la teoria dei campi vettoriali (sezione A.6.5), le nozioni fondamentali riguardanti i gruppi di diffeomorfismi locali ad un parametro generati da essi (sezione 16.5.3) e la teoria generale delle forme su varietà differenziabili, includendo l’utilizzo della derivata di Lie (Appendice B.1).