Fondamenti di Meccanica Hamiltoniana

In questo capitolo introduciamo la formulazione di Hamilton della meccanica classica. Si tratta di una rielaborazione della meccanica lagrangiana, iniziata nel secolo XIX ad opera di W.R. Hamilton e proseguita con importanti contributi di altri fisici matematici fino al giorno d’oggi. A parte l’indubbia importanza nell’ambito della fisica matematica classica ha anche avuto un’influenza cruciale nello sviluppo teorico di vari campi della fisica teorica, quali la formulazione della moderna meccanica statistica e della meccanica quantistica all’inizio del secolo XX. Nella formulazione di Hamilton l’oggetto matematico fondamentale, che gioca un ruolo simile a quello giocato dalla lagrangiana \(\mathcal{L}\) nella formulazione di Lagrange portando tutte le informazioni sulla dinamica del sistema fisico in esame, è la funzione hamiltoniana \(\mathcal{H}\) , che abbiamo introdotto con il teorema di Jacobi. Come sappiamo essa è legata all’energia meccanica e coincide con essa in determinate situazioni. Quindi, al contrario della lagrangiana, l’hamiltoniana \(\mathcal{H}\) è, sotto certe condizioni una grandezza direttamente legata all’esperienza e che entra in gioco direttamente in alcuni fenomeni fisici.