Pseudo-bosoni deboli e loro BCSs

Una delle caratteristiche essenziali degli operatori pseudo-bosonici che soddisfano la relazione di commutazione (2.14), brevemente \([a,b]=1\!\!1\) , è che non c’è motivo, in generale, per cui \(a\) e \(b\) debbano essere legati tra di loro da qualche operazione di aggiunto, come invece capita per le CCR ordinarie, (2.9). Infatti, come abbiamo già discusso più volte, la situazione più interessante è quando \(b\neq a^{\dagger}\) . Questa condizione produce diverse conseguenze, come abbiamo mostrato nella Sezione 2.3 e in tutte le applicazioni considerate finora. Un’altra conseguenza interessante è che coppie insolite di operatori possono essere analizzate nel contesto generale dei \({\cal D}\) -PB, mentre non hanno possibilità di essere considerate insieme, come operatori bosonici. Ad esempio, consideriamo l’operatore di moltiplicazione \(\hat{x}\) , e l’operatore di derivata \(\hat{D}=\frac{d}{dx}\) . È molto improbabile che si pensi che uno di questi due operatori sia l’aggiunto dell’altro! Infatti, è assolutamente evidente che \(\hat{x}\neq\hat{D}^{\dagger}\) . Tuttavia, essi soddisfano la \([\hat{D},\hat{x}]f(x)=f(x)\) , per tutte le \(f(x)\in{\cal S}(\mathbb{R})\) . Quindi, almeno formalmente, \(\hat{D}\) e \(\hat{x}\) si comportano come operatori pseudo-bosonici. È quindi naturale verificare se le Assunzioni nella Sezione 2.3 siano soddisfatte o meno. Ma ci imbattiamo immediatamente nel seguente problema che abbiamo già brevemente considerato precedentemente in queste note: l’unica soluzione della equazione \(\hat{x}\,\psi_{0}(x)=0\) che appartiene a è la funzione nulla q.o.. Esiste una soluzione dell’equazione non banale, ma tale soluzione non è una funzione, ma una distribuzione: , per una qualsiasi costante . Allo stesso modo, se cerchiamo soluzioni di , la soluzione è , per qualsiasi possibile valore fissato di . Naturalmente, questa soluzione è non banale se , ma in questo caso . Tuttavia, possiamo agire su e con potenze di e , ottenendo altre funzioni non a quadrato integrabili, e altre distribuzioni. Tutto ciò suggerisce che potrebbe non essere sempre lo spazio giusto con cui lavorare, almeno se siamo interessati ad analizzare la coppia . Naturalmente, questo è sicuramente vero a livello matematico, mentre abbandonare lo spazio può risultare pericoloso per i fisici, poiché si perde l’interpretazione probabilistica della meccanica quantistica.