La formula BCH

In meccanica quantistica un ruolo importante, soprattutto in relazione con gli stati coerenti, è svolto dal cosiddetto operatore di spostamento, 4.1 \(D(z)=e^{zc^{\dagger}-\overline{z}\,c},\) \(z\in\mathbb{C}\) , in cui \(c\) e \(c^{\dagger}\) sono gli operatori scala bosonici introdotti nella Sezione 2.2. Nonostante il fatto che \(c\) e \(c^{\dagger}\) non siano limitati, \(D(z)\in B({\cal H})\) , poiché è unitario: \(D^{-1}(z)=D^{\dagger}(z)\) . Quindi \(\|D(z)\|=1\) , per tutti gli \(z\in\mathbb{C}\) . Ovviamente, in particolare, \(D(0)=1\!\!1\) . In letteratura la formula BCH viene applicata all’operatore \(D(z)\) in un modo che spesso, agli occhi di un matematico, appare inappropriato. Prima di spiegare la ragione di una simile affermazione, ricordiamo cosa afferma la formula BCH nel caso che a noi interessa in modo particolare, ovvero se \(A\) e \(B\) sono due operatori tali che \([A,B]\) commuti sia con \(A\) che con \(B\) . In questo caso la seguente uguaglianza è vera: 4.2 \(e^{A+B}=e^{A}e^{B}e^{-\frac{1}{2}[A,B]}=e^{B}e^{A}e^{\frac{1}{2}[A,B]}.\) Le varie parti di queste equazioni sono sicuramente ben definite se \(A\) e \(B\) sono entrambi limitati: infatti, \(e^{A}\) e \(e^{B}\) sono limitati, poiché possono essere rappresentati da serie convergenti per norma, e quindi entrambi appartengono alla \(C^{*}\) -algebra \(B({\cal H})\) degli operatori limitati su \({\cal H}\) , [46,116]. Quindi \(e^{B}e^{A}\) e \(e^{A}e^{B}\) sono anch’essi entrambi ben definiti. Ma, e questa è la situazione rilevante per la (4.1), se \(A\) e \(B\) non sono limitati, allora non c’è motivo a priori di essere sicuri che: (1) e esistano; (2) il dominio di , , sia non vuoto e, anche se questo è vero e , risulti necessariamente ; (3) specularmente, sia non vuoto e, preso , , allora ; (4) esista. Infine, ma non meno importante, anche se tutti questi quesiti possono essere chiariti positivamente, resta ancora da capire che le uguaglianze in (4.2) siano soddisfatte, e in che senso.