Lie-Gruppen

Lie-Gruppen gehören zu den wichtigsten Beispielen für glatte Mannigfaltigkeiten. Eine Lie-Gruppe ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer zusätzlichen, kompatiblen Gruppenstruktur. Hier bezieht sich Kompatibilität auf die Tatsache, dass die Gruppenoperationen glatt sind (ein anderer Standpunkt ist, eine Lie-Gruppe als eine Gruppe mit einer zusätzlichen Struktur von Mannigfaltigkeit zu betrachten…). Der Leser kann die Matrixgruppe \(GL(n,\mathbb {R})\) von nicht-singulären n × n reellen Matrizen (Beispiele 1.2.7(ix) und 3.1.1(vii)) im Hinterkopf behalten, in denen die n2 Matrixkoeffizienten ein globales Koordinatensystem bilden. Die Verbindung der glatten und der Gruppenstrukturen ermöglicht eine explizitere Beschreibung der Differentialinvarianten, die an eine Mannigfaltigkeit angehängt sind. Aus diesem Grund bilden Lie-Gruppen eine Klasse von Mannigfaltigkeiten, die sich zum Testen allgemeiner Hypothesen und Vermutungen eignen. Die gleichen Bemerkungen gelten für homogene Räume, die bestimmte Quotienten von Lie-Gruppen sind. In diesem Kapitel führen wir die grundlegenden Begriffe über Lie-Gruppen ein, einschließlich einer Diskussion der fundamentalen Sätze von Lie in moderner Formulierung basierend auf Satz von Frobenius.