Fortsetzung auf röhrenförmigen Gebieten

Eine besonders wichtige Klasse von Gebieten in \(\mathbb {C}^{n}\) sind Röhrengebiete (oderRöhrendomäne ), d. h., Gebiete der Form \(D:=\Omega +i\mathbb {R} ^{n},\) wo Ω ein Gebiet in \(\mathbb {R}^{n}\text{ ist. }\ \Omega\) ist, wird die Basis des Röhrengebiets D genannt. Insbesondere ist \(\mathbb {C}^{n}= \mathbb {R}^{n}+i\mathbb {R}^{n}\) ein Röhrengebiet mit Basis \(\mathbb {R} ^{n}.\) Das Ziel dieses Kapitels ist es, einen Beweis für einen Fortsetzungssatz von Bochner zu geben, der besagt, dass jede auf einem Röhrengebiet D holomorphe Funktion holomorph auf die konvexe Hülle von D fortgesetzt werden kann. Bochners Theorem, im Gegensatz zu Hartogs’ Kugelsatz, gilt auch in Dimension 1. Wenn jedoch n = 1 ist, ist das Theorem trivial, da jedes Röhrendgebiet in \(\mathbb {C}\) mit seinerr konvexen Hülle übereinstimmt.