Dieses Kapitel behandelt die lineare und nichtlineare Finite Elemente Methode (FEM). Es beginnt mit der räumlichen Diskretisierung eines Kontinuums, gefolgt von der Einführung von Formfunktionen (Interpolationsfunktionen) und Gradientenoperatoren. Anschließend diskutieren wir die Variationsrechnung mit Anwendung auf Probleme wie Diffusion, Advektions-Diffusion (AD), lineare und nichtlineare Festkörpermechanik und inkompressibler Strömung. Die entsprechenden diskretisierten Gleichungen werden im darauffolgenden Abschnitt bereitgestellt. Um inkompressible Verformungen direkt auf der Ebene des finiten Elements zu beschreiben, werden Penalty-, Lagrange und erweiterte Lagrange Methoden diskutiert. Die individuellen Beiträge der einzelnen finiten Elemente werden dann zu einem globalen Gleichungssystem zusammengefasst, und die Stabilität und Regularisierung der diskretisierten Gleichungen untersucht. Anschließend präsentieren wir eine Reihe von Methoden zur Lösung des FEM-Gleichungssystems – es umfasst die Lösung von dünn besetzten linearen Systemen, nichtlinearen Systemen, Bogenlängenmethoden sowie expliziten und impliziten Lösungsansätzen. Eine Reihe von Fallstudien veranschaulicht die Lösung strukturmechanischer und strömungsmechanischer Problemstellungen, und eine Zusammenfassung schließt das Kapitel ab.